Bu ders notumuzda Matematik dersinin 2. Dereceden Denklemler konusu altında; 2.Dereceden Denklem Nedir? İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Kümesinin Bulunuşu (Çarpanlara Ayırma Yöntemi, Diskiriminant (D) Yöntemi, İkinci Dereceden Denklemlerin Köklerini Bulma, Kökleri Verilen İkinci Dereceden Deklemin Yazılması, Üçüncü Dereceden Denklemler vb. başlıklar hakkında detaylı bilgileri bulabilirsiniz.

İkinci Dereceden Denklemler

TANIM

a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax² + bx + c = 0

biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi

ax² + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0

biçiminde yazılabiliyorsa

f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

2. Diskiriminant (D) Yöntemi

ax² + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve

D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi

ax² + bx + c = 0

denkleminde, D = b² – 4ac olsun.

a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.

Bu kökleri,

b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.

c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.

Bu kökler,

Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.

Ü ax² + bx + c = 0

denkleminin kökleri simetrik ise,

1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.

2) Simetrik kökleri gerçel ise,

b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

C. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI  ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri

x₁ ve x₂ ise,

 

D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x₁ ve x₂ olan ikinci dereceden denklem;

(x – x₁) (x – x₂) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,

x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0 olur.

Ü ax² + bx + c = 0 … (1) denkleminin kökleri x₁ ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve

mx₂ + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerineyazılarak bulunur.

Ü ax² + bx + c = 0 ve dx₂ + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,

Ü ax₂ + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0

denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,

ax₂ + bx + c = dx² + ex + f

(a – d)x² + (b – e)x + c – f = 0 dır.

Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A. TANIM

a ¹ 0 olmak üzere, ax³ + bx² + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

a ¹ 0 ve ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂ ve x₃ olsun. Buna göre,

C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ

DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x₁, x₂ ve x₃ olan üçüncü derece denklem

(x – x₁) (x – x₂) (x – x₃) = 0 dır.

Bu denklem düzenlenirse,

x₃ – (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x – x₁x₂x₃ = 0

olur.

Ü ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin kökleri

x₁, x₂, x₃ olsun.

1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

x₁ + x₃ = 2x² dir.

2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,

3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,

x₁ = x₂ = x₃ tür.

n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,

a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + … + a₁x + a₀ = 0

denkleminin;

Kökleri toplamı :

Kökleri çarpımı :

Kaynak İndirme Bilgileri Site: www.derscalisiyorum.com.tr Dosya İçeriği: 2.Dereceden Denklemler Dosya Boyutu/Türü: 310 KB/ PDF Dosya İndirme Linki: Tıklayınız.